Введение
Глобальная конкуренция, необходимость обес-
печения безопасности производства пищевых
продуктов с высокой пищевой ценностью и снижение
удельной энергоемкости технологий способствуют
развитию перспективных технологий управления
технологическими процессами [1, 2]. Комплексное
решение этих проблем перспективно для пищевых
систем.
Альтернативные «зеленые» технологии активно
внедряются в процессы производства разнообраз-
ных продуктов [3, 4]. Например, технология
обработки импульсным электрическим полем успешно
применяется при переработке картофеля, производстве
соков и подготовке к процессам сушки [5–7]. Наряду с
этим такие технологические процессы с применением
электрических полей, как электропорация, электро-
гидродинамическая сушка и электроосмос начинаются
внедряться в пищевой промышленности [8–10].
В данной работе рассматривается «зеленая» технол-
огия обработки низкотемпературной плазмой в
качестве предварительной подготовки растительных
материалов для управления процессами сушки.
Ряд ученых отметил возможность применения
низкотемпературной плазмы для ускорения процессов
сушки [8, 9]. N. N. Misra и др. обрабатывали специи
перца чили потоком низкотемпературной плазмы
с частотой 20 кГц и мощностью 750 Вт [10]. Было
установлено, что длительность сушки при такой
обработке снижается на 12,6 % по сравнению с
контрольным образцом. E. Vorobiev и N. Lebovka
исследовали эффект обработки низкотемпературной
плазмой семян кукурузы при мощности 500 Вт и
длительностью 50 сек [8]. Результаты показали,
что обработка может снизить длительность сушки
растительного материала.
В процессе сушки растительных материалов, кроме
энергетических затрат, важными являются факторы,
615
Шорсткий И. А. Техника и технология пищевых производств. 2022. Т. 52. № 3. С. 613–622
затрагивающие безопасность и качество продукта,
которые являются функцией состояния (температура,
влажность и состав) материала [11]. В связи с этим
управление процессом сушки для ограничения
перегрева материала или неконтролируемой усадки
являются важными задачами производства.
С точки зрения термодинамики процесса
возникающий интенсивный массоперенос в пред-
варительно обработанных низкотемпературной
плазмой биоматериалах вызван формированием
большого количества древовидных микроканалов,
расположенных в толщине биоматериала преи-
мущественно вдоль силовых линий напряженности
электрического поля [11]. Основным барьером для
массопереноса влаги из структуры капиллярно-
пористых коллоидных тел в процессе сушки является
сопротивление клеточных мембран. С помощью
плазмолиза, в процессе которого происходит
анатомическое разрушение клеточных мембран
из-за температурного воздействия, возможно
ускорение процесса сушки [12]. Предварительная
обработка низкотемпературной плазмой может
положительно сказаться на динамике массообмена
в биоматериалах за счет изменения капиллярно-
пористой структуры, присутствия высвободившейся
жидкой фазы на поверхности материала в начальный
момент времени, увеличения суммарной диффузии
и изменения некоторых термодинамических пара-
метров объекта сушки (теплоемкости, теплопровод-
ности и др.) [12–15]. Знания о механизме тепло- и
массопереноса процесса сушки для предварительно
обработанного низкотемпературной плазмой
растительного материала являются необходимым
инструментом при построении основ для разработки
передовых «зеленых» технологий в пищевой,
химической и других областях промышленности.
Целью данного исследования являлось числен-
ное моделирование процессов сушки растительных
материалов, обработанных низкотемпературной
плазмой, на основе модели Лыкова с определением
управляющего фактора обработки.
Объекты и методы исследования
В качестве объектов исследования использовали
яблоки сорта Гренни Смит и картофель сорта
Боровичок. Размеры нарезок составляли 45 мм в
диаметре с толщиной 5 мм. Начальная влажность
объектов исследования составляла 78,2 ± 1,3 и
83 ± 1 % для картофеля и яблок. Влажность измеряли
с помощью анализатора влажности (HC103, Mettler
Toledo). Сушку образцов картофеля и яблок проводили
в соответствии с данными работ [15, 16] в сушильном
шкафу Binder FP 240 (Квакенбрюк, Германия)
при температуре 60 °С и объемной скорости потока
воздуха 4,8 м3/ч в течение 8 ч.
Обработка низкотемпературной плазмой. Обра-
ботку низкотемпературной плазмой атмосферного
давления в воздушной газовой среде проводили с
использованием технологической установки на базе
высоковольтного усилителя Matsusada 20-B-20
(Matsusada Precision Inc, Япония). Установка
обеспечивает формирование устойчивого мик-
роплазменного разряда с помощью источника
термоэлектронной эмиссии. Параметры импульса:
длительность импульса – 40 мс, частота следования
импульсов – 100 Гц, амплитуда импульсов – 60000 В/м.
Измерение высоковольтного сигнала осуществляли
с помощью осциллографа Tektronix TDS 220 через
высоковольтный делитель (Х1000, Tektronix).
Ячейка для обработки растительных материалов
представляет собой систему из плоского анода, на
котором располагают исследуемый материал, и катода
с термоэлектронной эмиссией, который установлен на
шасси для осуществления сканирующего принципа
обработки. Эксперименты проводились с применением
величины удельной энергий 1 кДж/кг и напряженности
поля 60000 В/м.
Определение индекса дезинтеграции. При
обработке растительных материалов активно
используется показатель эффективности электро-
физической обработки – индекс дезинтеграции [17].
Данный индекс количественно характеризует степень
анатомически разрушенных растительных клеток в
процессе обработки низкотемпературной плазмой.
Сущность метода заключается в измерении величины
электропроводности растительного материала до и
после обработки [17]. Величину электропроводности
определяли с использованием прецизионного LCR
метра 1920 Quadtech (IET LABS, Нью-Йорк, США)
на базовых узловых частотах: 10 и 100 Гц и 1, 10 и
100 кГц. При работе с листовыми растительными
материалами использовали 2-пиновую насадку, а
при работе с растительными материалами толщиной
5 мм – ячейку из плоскопараллельных электродов
с набором 4пиновых коннекторов (1700-03 Kelvin
Leads).
Величину индекса дезинтеграции определи по
формуле:
(1)
где σ – электропроводность образца после обработки;
σi – электропроводность образца до обработки
(значение близко к нулю); σd – электропроводность
максимально разрушенных клеток образцов
(замороженных при –20 °С).
Модель сушки Лыкова. Академиком Лыковым
на базе термодинамики необратимых процессов
заложены основы тепломассопереноса и сформу-
лирована система связных дифференциальных
уравнений в частных производных двух уравнений
для передачи тепла и массы. Модель Лыкова успешно
использовалась для моделирования процессов
Z = (σ −σ i ) / (σ d −σ i )
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
616
Shorstkii I.A. Food Processing: Techniques and Technology. 2022;52(3):613–622
переноса температуры и влажности в капиллярно-
пористых материалах [18, 19].
Подробная информация о модели с использованием
системы уравнений с учетом потенциала давления
приведена в работе [20] и численно решена в
работе [21]. В данной работе используется система
уравнений с потенциалом температуры T и влажности
M с допущениями в соответствии с работами [17, 21]:
( 2)
где T – потенциал температуры, K; M – потенциал
влажности, °M; ϵ – отношение коэффициента
диффузии пара к коэффициенту диффузии полной
влажности; λ – скрытая теплота парообразования,
кДж/кг; cm – удельная влагоемкость объекта сушки,
кг влаги/(кг сухого тела·°M); D – к оэффициент
диффузии, м2/с; cq – удельная теплоемкость, Дж/(кг·K);
kq – коэффициент теплопроводности, Дж/(м·K·с);
ρ0 – плотность сухого тела, кг/м3; – термоградиентный
коэффициент, 1/К.
Первая часть уравнения (2) после знака равно
описывает теплоперенос Фурье, а вторая часть –
термодиффузионный эффект Дюфора. В уравне-
нии (3) эффект Соре представлен в первой части
правой стороны уравнения, а вторая часть описывает
массовый поток от диффузии жидкой фазы.
Определение потенциала влажности М осущест-
вляли с использованием преобразования Лыкова
с использованием экспериментальных данных
влажности по материалу Mt через следующее
выражение:
(4)
где Mt – влажность материала в пересчете на сухое
вещество; cm – удельная влагоемкость объекта
сушки, кг влаги/(кг сухого тела·°M). Величина cm
Таблица 1. Термодинамические характеристики объектов сушки
Table 1. Thermodynamics of drying material
Параметры Единица измерения Значение
Картофель Яблоко
Плотность сухого тела, ρ0 кг/м3 1031 1610
Удельная теплоемкость, cq Дж/(кг·K) 3494 3950
Коэффициент теплопроводности kq Вт/(м·K) 0,480 0,570
Удельная влагоемкость, cm кг влаги/(кг сухого тела·°M) 0,003 0,003
Термоградиентный коэффициент, δ 1/K 0,02 0,02
Отношение коэффициента диффузии пара
к коэффициенту диффузии полной влажности, ϵ
– 0,3 0,3
Скрытая теплота парообразования, λ Дж/кг 2,25×106 2,25×106
σ / (σ d −σ i )
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂Θ
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9 𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
(13)
) / ( ) d i σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
(1 ) K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
(3)
определяется экспериментальным путем с исполь-
зованием эталонной шкалы или может быть
принята из справочных данных термодинамических
характеристик [22–24].
Граничные и начальные условия. Набор граничных
условий Неймана для системы дифференциальных
уравнений (2)–(3) может быть задан из работы [20].
Начальная температура окружающей среды состав-
ляла 60 °C для всех образцов, а начальная влажность
картофеля и яблок – 85 и 87 % соответственно.
Г1 (5)
Г2 6 ()
Г3 (7)
Г4 (8)
где Г1, Г2, Г3 и Г4 составляют полную пограничную
поверхность.
В уравнениях (6) и (8) αm – конвективный коэф-
фициент массоотдачи, кг/(м2с); αq – конвективный
коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2K). Индекс «a»
означает окружающий. В уравнении (6) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
представляет собой поток влажности, проходящего
от центра образца к его поверхности,
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
и
описывают количество влаги, отводи-
мой от поверхности.
Выражение
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
уравнения (8) представляет собой
количество тепла, передаваемого материалу, выра-
жение
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀− 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
определяет тепло, подносимое к
поверхности, а последний член
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
описывает количество влаги, отводимой от
поверхности материала.
На основе литературных источников в таблице 1
представлены данные термодинамических харак-
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
617
Шорсткий И. А. Техника и технология пищевых производств. 2022. Т. 52. № 3. С. 613–622
теристик объектов сушки. Значение коэффициента
конвективной теплопередачи составило 24 Вт/(м2·К),
а коэффициент конвективной массопередачи αm
составил 10–5 м/с [24, 25]. Начальная температура
всех образцов была 20 °С.
Переход дифференциальных уравнений к без-
размерному виду осуществляли в соответствии со
следующими выражениями:
(9)
где Me – потенциал влажности в равновесии с Ma.
Если cma = 1, тогда Me = Ma; l – это характерный
размер тела для теплопередачи и диффузии влаги
в продукте.
Получаем запись системы дифференциальных
уравнений в безразмерном виде:
( 2a)
( 3a)
Г2 a (6a)
Г4а (8a)
где LLuu ==
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘q
– это число Лыкова, Ko =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– это
число Косовича, Pn =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– это число Поснова;
Fe =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
число Федорова; Biq=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– число Био
для теплопереноса, Bim=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– число Био для
массопереноса.
Формулировка конечного элемента. Управляющие
дифференциальные уравнения (2a)–(3a) являются
асимметричными, что усложняет их численное
решение. Для формирования симметричной системы
примем условия, что величины и δ постоянны.
Умножив уравнение (2а) на Pn, а выражение (3а)
на ϵKo и преобразовав систему уравнений в
уравнения конечного элемента с использованием
метода взвешенных остатков Галеркина в матричной
форме, получим:
( 10)
где коэффициенты CT = Pn, CM = ϵKo, K11 = (1+FeLu)·Pn,
K12 = K21 = FeLu, K22 = ϵKoLu, FT и FM соответствуют
членам температуры и влажности и в уравне-
ниях (2а)–(3а). Матрица (10) симметрична и может
быть численно решена. Выражение (10) соответствует
принципам симметрии Онзагера (K12 = K21).
Решение системы дифференциальных уравнений
тепломассопереноса. В целях создания эффективного
вычислительного метода решения системы уравне-
ний (2а)–(8а) предложено использование конечно-
разностного метода в соответствии с методологией,
описанной ранее [21]. Определенный с помощью
численного метода потенциал влажности сравнивался
с данными эксперимента. Отклонение значений
рассчитывалось по формуле:
( 11)
где n – номер экспериментальной экстраполяционной
точки.
Кинетические коэффициенты. Для анализа
влияния обработки низкотемпературной плазмы на
процесс сушки была поставлена обратная задача
для определения кинетических коэффициентов K
и С уравнения (10). Вычисление вектора весовых
коэффициентов Z(K,C) проводилось в виде
минимизации квадрата функции невязок пробной
функции M(K,C) от экспериментальной кривой
потенциала влажности:
(12)
Результаты и их обсуждение
Индекс дезинтеграции. При оценке индекса де-
зинтеграции Z, используя выражение (1) после
обработки низкотемпературной плазмой, величина
индекса резко возрастает с увеличением количества
ее направленных разрядов (рис. 1). Рост величины
индекса дезинтеграции связан с ростом количества
формируемых сковных каналов и количеством
разрушенных мембран растительных клеток. Для
образца картофеля и яблока максимальное значение
индекса Z зафиксировано при 1500 имп/см2. После
достижения определенного уровня индекса Z
количество разрушенных клеток не увеличивается.
Данный факт связан с точечным характером об-
работки, ограничивающим полное разрушение
клеточной структуры. При обработке импульсным
электрическим полем рядом исследователей был
установлен аналогичный факт. Ostermeier и др.
связывают ограничения роста индекса дезинтеграции
с возникновением обратного эффекта процесса
электропорации из-за сверхинтенсивной обра-
ботки [26]. Схожая зависимость величины индекса
дезинтеграции для материалов картофеля и яблока
были получены другими авторами при обработке
импульсным электрическим полем [27, 28].
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
∂t
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
Ψ
n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
0
𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 Sh⋅K
(13)
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
∂t
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
) d i σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 􀵫𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷􀵯∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
JJ = 􀷍(
15
n=0
(
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛
)2) 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
618
Shorstkii I.A. Food Processing: Techniques and Technology. 2022;52(3):613–622
Полученные данные индекса Z (рис. 1) были
использованы для выбора необходимых значений
удельных энергий для достижения трех различных
уровней Z. Таким образом, у картофеля и яблока были
выбраны три уровня индекса Z (0,3, 0,45 и 0,6) для
дальнейшего анализа факторов управления процессом
сушки. Данные уровни были выбраны для удобства
анализа с учетом достигнутого максимального
значения индекса Z = 0,6 для яблока. Картофель
обрабатывали при удельных энергозатратах 0,5, 1,2
и 1,8 кДж/кг, яблоко – при 0,35, 1 и 1,8 кДж/кг.
Экспериментальные результаты сушки. Кривые
сушки образцов картофеля и яблока с наличием
обработки низкотемпературной плазмой и без
представлены на рисунке 2. Кривые свидетествуют
о том, что процесс сушки протекает в условиях
доминирующего дифузионного переноса. Предва-
рительная обработка низкотемпературной плазмой
позволила снизить длительность сушки до достижения
Mt = 0,1. При удельной энергии 1,8 кДж/кг
длительность сушки удалось снизить на 25 и 28 %
для картофеля и яблока соответсвенно. В опуб-
ликованных ранее работах сообщалось, что
энергетические затраты на обработку составляют
менее 1 % от общих энергетических затрат процесса
сушки [15, 16]. Качественные характеристики
продукции сохраняются на высоком уровне.
Численное моделирование. Рассчитанный по-
тенциал влажности с использованием мате-
матического аппарата для образцов необработанного
картофеля и яблока показан на рисунке 3. Численные
результаты прогнозируемого потенциала влаж-
ности сравнивались с экспериментальными дан-
ными через уравнение (12). Отклонения расчетной
влажности от соответствующих экспериментальных
данных показаны на рисунке 3. Прогнозируемое
значение потенциала влажности коррелирует с
экспериментальными результатами для всех видов
образцов. Относительное отклонение по потенциалу
влажности составило менее 3 % для всех рассчетных
точек.
Для образцов, предварительно обработанных
низкотемпературной плазмой при различной
интенсивности обработки, применялась та же
процедура численного моделирования, что и для
необработанных образцов. Диапазон отклонений
для всех проанализированных данных составлял
от 1,2 до 4 %. Это подтверждает целесообразность
использования модели Лыкова в качестве матема-
тического инструмента для прогнозирования кривых
объектов сушки при постоянной температуре.
Определенный с помощью математического
аппарата потенциал влажности для растительных
материалов (рис. 3) был использован для нахождения
заданных значений кинетических коэффициентов
из уравнения (10). Аргумент матрицы K на основе
входных данных таблицы 1 для образцов картофеля
и яблока после процедуры минимизации отклонения
был определен как:
(13)
Зависимость величины Z от кинетического
коэффициента K представлена на рисунке 4.
Первичный анализ полученных зависимостей
кинетических коэффициентов от индекса Z демон-
стрирует растущий тренд. Величина коэффициента
K12 демонстрирует рост с увеличением интенсивности
обработки. Это можно объяснить корреляцией
между коэффициентом диффузии D и удельной
влагоемкостью cm. Основные кинетические коэф-
фициенты K11 и K22 демонстрируют схожее поведение
для картофеля и яблока, обработанных низко-
температурной плазмой. В работе [21] было
отмечено, что параметры ϵ, D и cm оказывают наиболь-
шее влияние на эффективность процесса сушки
(массообмена). Большие значения параметров ϵ и
D и малые значения cm позволяют интенсифицировать
процесс сушки без использования высоких температур.
Для решения задачи управления сушкой было
принято условие, что значения других кинетических
коэффициентов из уравнения (12) являются посто-
янными в рассматриваемом диапазоне. Параметр D
влияет на кинетические коэффициенты K11, K12, K21
и K22, параметр ϵ – на K11 и K12, параметр cm – на
K21 и K22.
Рисунок 1. Зависимость индекса дезинтеграции от
плотности количества разрядов низкотемпературной
плазмы на 1 см2
Figure 1. Effect of the density of low-temperature plasma
discharges per 1 cm2 on the disintegration index
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 1000 2000 3000
Индекс дезитеграции
Количество разрядов низкотемпературной плазмы
на см2
яблоко картофель
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 1000 2000 3000
Индекс дезитеграции
Количество разрядов низкотемпературной плазмы
на см2
яблоко картофель
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 обр = + ⋅= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 􀵤
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
􀵨 􀵬 𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
􀵰 + 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 􁉀𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
􁉁 + 􀵬
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
􀵰 = 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = 􀷍(𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт = 􀵤
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
􀵨 = 􁉂22.3 86.9
86.9 342.1
􁉃
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 􁉂 51.4 201.1
201.1 791.1
􁉃
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
619
Шорсткий И. А. Техника и технология пищевых производств. 2022. Т. 52. № 3. С. 613–622
Таким образом, для анализа влияния обработки
низкотемпературной плазмой на процесс сушки
необходимо определить взаимосвязь между основ-
ными кинетическими коэффициентами и индек-
сом дезинтеграции. Как видно из уравнения (12),
коэффициент диффузии присутствует в каждом
кинетическом коэффициенте. В соответствии с
работами по предварительной электрофизической
обработке при более простой оценке основной акцент
направлен на изменение коэффициента диффузии.
Примем в данной работе аналогичную гипотезу
и свяжем коэффициент диффузии с индексом
Рисунок 2. Кривые сушки картофеля (a) и яблока (b) при различных уровн ях индекса дезинтеграции клеток
Figure 2. Drying curves for potatoes (a) and apples (b) at cell disintegration indexes
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Рисунок 3. Сравнение данных процесса сушки эксперимента с моделью для контрольных образцов картофеля (a)
и яблока (b)
Figure 3. Drying model for potatoes (a) and apples (b): experim ent vs. control
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10000 20000 30000
Потенциал влажности, °М
Время сушки, с
эксперимент модель
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 20000 30000
Потенциал влажности, °М
Время сушки, с
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10000 20000 30000
Потенциал влажности, °М
Время сушки, с
эксперимент модель
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 Потенциал влажности, °М
a b
a b
620
Shorstkii I.A. Food Processing: Techniques and Technology. 2022;52(3):613–622
дезинтеграции через выражение и введем упрощенную
запись Sh = 1 + Z:
(14)
Индексы «обр» и «0» в уравнении (14) означают
обработанный и начальный. Проведенная проверка
изменения кинетических коэффициентов из
уравнения (13), в соответствии с полученными
экспериментальным путем индекса дезинтегра-
ции, показала высокую схожесть R2 = 0,985.
Следовательно, коэффициент Sh можно внедрить
в систему дифференциальных уравнений при
использовании электрофизических методов пред-
варительной обработки материалов, таких как
обработка импульсным электрическим полем или
низкотемпературной плазмой. Однако дальнейшие
более детальные и с расширенным кругом объектом
исследования необходимы для подтверждения
правомерности использования данного коэффициента
для управления процессом сушки растительных
материалов.
Выводы
Разработанный математический аппарат и
программный код на основе дифференциаль-
ных уравнений термодинамических потенциалов
влажности и температуры Лыкова способны
описывать экспериментальные кривые сушки пред-
варительно обработанных низкотемпературной
плазмой растительных материалов. Предложенные
модель и методология, с их высокой точностью
(невязка менее 4 %), могут быть использованы для
анализа, моделирования и управления процессом
сушки пищевых и сельскохозяйственных продуктов.
Проведенная оценка эффективности разрушения
анатомической целостности растительных клеток
посредством измерения индекса дезинтеграции
коррелирует с кинетическими коэффициентами модели
Лыкова. Эти выражения позволяют прогнозировать
ход переноса потенциала влажности и управлять
процессом сушки предварительно обработанных
материалов с помощью низкотемпературной плазмы
при различной интенсивности обработки.

1. Bassey EJ, Cheng J-H, Sun D-W. Novel nonthermal and thermal pretreatments for enhancing drying performance and improving quality of fruits and vegetables. Trends in Food Science and Technology. 2021;112:137-148. https://doi.org/10.1016/j.tifs.2021.03.045

2. Kumar M, Dahuja A, Tiwari S, Punia S, Tak Y, Amarowicz R, et al. Recent trends in extraction of plant bioactives using green technologies: A review. Food Chemistry. 2021;353. https://doi.org/10.1016/j.foodchem.2021.129431

3. Lammerskitten A, Shorstkii I, Parniakov O, Mykhailyk V, Toepfl S, Rybak K, et al. The effect of different methods of mango drying assisted by a pulsed electric field on chemical and physical properties. Journal of Food Processing and Preservation. 2020;44(12). https://doi.org/10.1111/jfpp.14973

4. Armenta S, Garrigues S, Esteve-Turrillas FA, de la Guardia M. Green extraction techniques in green analytical chemistry. TrAC - Trends in Analytical Chemistry. 2019;116:248-253. https://doi.org/10.1016/j.trac.2019.03.016

5. Fauster T, Schlossnikl D, Rath F, Ostermeier R, Teufel F, Toepfl S, et al. Impact of pulsed electric field (PEF) pretreatment on process performance of industrial French fries production. Journal of Food Engineering. 2018;235:16-22. https://doi.org/10.1016/j.jfoodeng.2018.04.023

6. Ostermeier R, Hill K, Dingis A, Töpfl S, Jäger H. Influence of pulsed electric field (PEF) and ultrasound treatment on the frying behavior and quality of potato chips. Innovative Food Science and Emerging Technologies. 2021;67. https://doi.org/10.1016/j.ifset.2020.102553

7. Arab Shirazi SH, Pedram Nia A, Saeidi Asl MR, Naghipour F, Tavakolipour H. Antioxidant activity of aqueous and alcoholic extracts of Salvia leriifolia L. and Linum usitalissmum L. subjected to a pulsed electric field. Foods and Raw Materials. 2020;8(1):186-195. https://doi.org/10.21603/2308-4057-2020-1-186-195

8. Vorobiev E, Lebovka N. Fundamentals of Electroporation, theory and mathematical models for simulation of PEE processing. In: Vorobiev E, Lebovka N, editors. Processing of foods and biomass feedstocks by pulsed electric energy. Cham: Springer; 2020. pp. 27-49. https://doi.org/10.1007/978-3-030-40917-3_2

9. Zipaev DV, Tulina AA, Kozhukhov AN. The use of capillary electrophoresis in the evaluation of food and beverages. Proceedings of the Voronezh State University of Engineering Technologies. 2020;82(1):82-87. (In Russ.). https://doi.org/10.20914/2310-1202-2020-1-82-87

10. Misra NN, Martynenko A, Chemat F, Paniwnyk L, Barba FJ, Jambrak AR. Thermodynamics, transport phenomena, and electrochemistry of external field-assisted nonthermal food technologies. Critical Reviews in Food Science and Nutrition. 2018;58(11):1832-1863. https://doi.org/10.1080/10408398.2017.1287660

11. Shorstkiy IA. Pulsed electric field treatment of biomaterials in preparation for drying. Krasnodar: Izdatelʹskiy Dom-Yug; 2020. 172 p. (In Russ.).

12. Bao T, Hao X, Shishir MRI, Karim N, Chen W. Cold plasma: An emerging pretreatment technology for the drying of jujube slices. Food Chemistry. 2021;337. https://doi.org/10.1016/j.foodchem.2020.127783

13. Farias TRB, Rodrigues S, Fernandes FAN. Effect of dielectric barrier discharge plasma excitation frequency on the enzymatic activity, antioxidant capacity and phenolic content of apple cubes and apple juice. Food Research International. 2020;136. https://doi.org/10.1016/j.foodres.2020.109617

14. Karim N, Shishir MRI, Bao T, Chen W. Effect of cold plasma pretreated hot-air drying on the physicochemical characteristics, nutritional values and antioxidant activity of shiitake mushroom. Journal of the Science of Food and Agriculture. 2021;101(15):6271-6280. https://doi.org/10.1002/jsfa.11296

15. Shorstkii I. Application of cold filamentary microplasma pretreatment assisted by thermionic emission for potato drying. Innovative Food Science and Emerging Technologies. 2020;66. https://doi.org/10.1016/j.ifset.2020.102540

16. Khudyakov D, Sosnin M, Shorstkii I, Okpala COR. Cold filamentary microplasma pretreatment combined with infrared dryer: Effects on drying efficiency and quality attributes of apple slices. Journal of Food Engineering. 2022;329. https://doi.org/10.1016/j.jfoodeng.2022.111049

17. Shorstkii IA, Sosnin MD. Cell membranes of plant materials anatomical integrity changes under the influence of filamentary microplasma treatment assisted by thermionic emission. Advances in Applied Physics. 2021;9(3):235-244. (In Russ.). https://doi.org/10.51368/2307-4469-2021-9-3-235-244

18. Koukouch A, Bakhattar I, Asbik M, Idlimam A, Zeghmati B, Aharoune A. Analytical solution of coupled heat and mass transfer equations during convective drying of biomass: experimental validation. Heat and Mass Transfer. 2020;56(6):1971-1983. https://doi.org/10.1007/s00231-020-02817-w

19. Vargas-González S, Núñez-Gómez KS, López-Sánchez E, Tejero-Andrade JM, Ruiz-López II, García-Alvarado MA. Thermodynamic and mathematical analysis of modified Luikov’s equations for simultaneous heat and mass transfer. International Communications in Heat and Mass Transfer. 2021;120. https://doi.org/10.1016/j.icheatmasstransfer.2020.105003

20. Lykov AV. Theory of Drying. Moscow: Ehnergiya; 1968. 472 p. (In Russ.).

21. Shorstkii IA, Kosachev VS, Koshevoi EP. Numerical modeling of the process of drying biomaterials after pulsed electric field treatment using a system of temperature, moisture, and pressure equations. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2020;93(5):1285-1295. https://doi.org/10.1007/s10891-020-02233-1

22. Nikitina LM. Thermodynamic parameters and mass transfer coefficients in moist materials. Moscow: Energiya; 1968. 500 p.

23. Krokida MK, Zogzas NP, Maroulis ZB. Heat transfer coefficient in food processing: Compilation of literature data. International Journal of Food Properties. 2002;5(2):435-450. https://doi.org/10.1081/JFP-120005796

24. Berk Z. Physical properties of food materials. In: Berk Z, editor. Food process engineering and technology. Academic Press; 2009. pp. 7-25. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-373660-4.00001-6

25. Mohsenin NN. Thermal properties of foods and agricultural materials. New York: Gordon and Breach; 1980. 408 p.

26. Ostermeier R, Giersemehl P, Siemer C, Töpfl S, Jäger H. Influence of pulsed electric field (PEF) pre-treatment on the convective drying kinetics of onions. Journal of Food Engineering. 2018;237:110-117. https://doi.org/10.1016/j.jfoodeng.2018.05.010

27. Liu C, Grimi N, Lebovka N, Vorobiev E. Effects of pulsed electric fields treatment on vacuum drying of potato tissue. LWT. 2018;95:289-294. https://doi.org/10.1016/j.lwt.2018.04.090

28. Lammerskitten A, Mykhailyk V, Wiktor A, Toepfl S, Nowacka M, Bialik M, et al. Impact of pulsed electric fields on physical properties of freeze-dried apple tissue. Innovative Food Science and Emerging Technologies. 2019;57. https://doi.org/10.1016/J.IFSET.2019.102211