MATHEMATICAL MODELING AND EXPERIMENTAL STUDIES OF MEMBRANE CONCENTRATION IN APPARATUSES WITH THE WITHDRAWAL OF THE POLARIZATION LAYER
Authors:
1.
Kemerovo Institute of Food Science and Technology (University)
Kemerovo, Russian Federation
Kemerovo, Russian Federation
2.
Kemerovo Institute of Food Science and Technology (University)
3.
Kemerovo Institute of Food Science and Technology (University)
4.
Kemerovo Institute of Food Science and Technology (University)
Type:
Article
Pages:
from 152
to 159
Status:
Published
Received:
23.10.2017
Accepted:
23.10.2017
Published:
23.10.2017
Subject area:
UDK [637.146:66.081.6]:519.6
UDK 66 Химическая технология. Химическая промышленность. Родственные отрасли
UDK 60 Прикладные науки. Общие вопросы
UDK 66 Химическая технология. Химическая промышленность. Родственные отрасли
UDK 60 Прикладные науки. Общие вопросы
Language:
Russian
Keywords:
Membrane, modeling, polarization layer, transfer functions
Abstract (English):
A mathematical model of membrane concentration using the Automation Control theory is proposed . The model can be used for describing membrane processes in different kinds of apparatuses that withdraw polarization layer. The model considers technical, constructive and conditional parameters of the membrane apparatus itself and those of the withdraw device. The information scheme of the described model is presented, consisting of two conventional elements - the membrane module and the withdrawal device, which is a basic representation of apparatuses that withdraw polarization layer. Also, the information schema contains information relations. In addition, to connect the membrane module and the withdrawal device, the scheme has been modified with intermediate parameters which are output for the membrane module and input for the withdrawal device. A technique for calculating the transfer function of a system is described. Comparative evaluation of the values obtained using the given model and the experimental values of the industrial pilot membrane apparatus have been done. The difference between experimental data and observational studies with different parameters of the process does not exceed 10%. Based on the evaluation results, it has been concluded that the proposed mathematical model describes the modeling object adequately and has sufficient predictive power to be used in the calculation of industrial installations. Based on the results of experimental studies of the industrial pilot plant, theregression equation has been obtained. The regression equation connects the concentration of the withdrawn polarization layer with technological parameters, whose rational values have been obtained.
A mathematical model of membrane concentration using the Automation Control theory is proposed . The model can be used for describing membrane processes in different kinds of apparatuses that withdraw polarization layer. The model considers technical, constructive and conditional parameters of the membrane apparatus itself and those of the withdraw device. The information scheme of the described model is presented, consisting of two conventional elements - the membrane module and the withdrawal device, which is a basic representation of apparatuses that withdraw polarization layer. Also, the information schema contains information relations. In addition, to connect the membrane module and the withdrawal device, the scheme has been modified with intermediate parameters which are output for the membrane module and input for the withdrawal device. A technique for calculating the transfer function of a system is described. Comparative evaluation of the values obtained using the given model and the experimental values of the industrial pilot membrane apparatus have been done. The difference between experimental data and observational studies with different parameters of the process does not exceed 10%. Based on the evaluation results, it has been concluded that the proposed mathematical model describes the modeling object adequately and has sufficient predictive power to be used in the calculation of industrial installations. Based on the results of experimental studies of the industrial pilot plant, theregression equation has been obtained. The regression equation connects the concentration of the withdrawn polarization layer with technological parameters, whose rational values have been obtained.
Keywords:
Membrane, modeling, polarization layer, transfer functions
Membrane, modeling, polarization layer, transfer functions
Мембранные процессы получили достаточно широкое распространение в различных отраслях промышленности [1-7]. При этом актуальной зада- чей является совершенствование существующего оборудования и разработка нового. Мембранное оборудование с отводом поляризационного слоя является одним из перспективных направлений мембранной техники. Отвод поляризационного слоя позволяет сократить время, необходимое для пере- работки раствора, а одновременная очистка внут- ренней поверхности мембраны без остановки про- цесса мембранного разделения, применяемая в по- следних разработанных конструкциях аппаратов, позволяет сократить время вспомогательных опера- ций на производстве и уменьшить финансовые затраты. Таким образом, использование мембранных аппаратов с отводом поляризационного слоя позво- ляет получать продукты высокого качества при со- кращении их себестоимости по сравнению с исполь- зованием классических методов переработки. Один из важнейших аспектов модернизации промышленного оборудования - максимальное сокращение времени между разработкой конструк- ции и промышленным внедрением готового техни- ческого решения. При этом необходимо, чтобы подбор необходимых параметров работы оборудо- вания, конструктивных особенностей и ожидаемых результатов модернизации был максимально эко- номичен и проходил в сжатые сроки. Для реализации описанных потребностей ис- пользуется математическое моделирование. Доста- точно широкое распространение получило модели- рование с использованием теории автоматического управления (передаточных функций), в частности, при описании мембранных процессов [7]. Однако при всем многообразии математических моделей нет единого подхода при описании этих процессов, происходящих в аппаратах, отличающихся различ- ным конструктивным решением. В связи с этим достаточно актуальной задачей является разработка унифицированной модели, которая при необходи- мости могла быть использована с минимальными трудозатратами при описании мембранных процес- сов в различных конструкциях аппаратов. Предложенная в данной статье модель соот- ветствует описанным требованиям, является уни- версальной для различных конструкций мембран- ных аппаратов и использует типовой аппарат ки- бернетического моделирования, что делает воз- можным ее широкое применение при проектирова- нии промышленного оборудования. Объекты и методы исследования Объектом исследования являются конструкции мембранных аппаратов с отводом поляризационно- го слоя. Предметом исследования является уста- новление закономерностей процесса концентриро- вания с использованием математического модели- рования на основе передаточных функций. При разработке математической модели пред- почтительно, чтобы она была универсальной и учи- тывала бы многообразие возможных конструкций. Поэтому ее целесообразно представлять в виде от- дельных элементов, которые влияют на производи- тельность процесса и качество получаемой продук- ции. В мембранных процессах это будут собствен- но мембрана (стандартные мембранные модули), производящие отвод фильтрата и являющиеся об- щим элементом всех аппаратов, а также способы и устройства, оказывающие существенное влияние на производительность и являющиеся частным эле- ментом конструкций. Структурная схема аппаратов с отводом поляризационного слоя в общем виде представляет собой мембранный модуль и отводя- щее устройство (рис. 1) [8, 9]. Рис. 1. Структурная схема мембранного аппарата с отводом поляризационного слоя: элементы системы: I - мембранный блок; II - отводящее устройство; входные параметры системы: X1 - концентрация сухих веществ в исходном растворе (Свх); возмущающие воздействия системы: α - технологические параметры работы; f(α) - закономерности изменения технологических параметров (изменяются в зависимости от конкретного параметра и протекания процесса в аппарате); β1 - конструктивные параметры мембранного блока; β2 - конструктивные параметры отводящего устройства; γ1 - режимные параметры работы мембранного модуля, γ2 - режимные параметры работы отводящего устройства; входные параметры отводящего устройства: Z1 - концентрация сухих веществ в концентрате (Ск); Z2 - расход концентрата (Fк); выходные параметры системы: Y1 - концентрация сухих веществ в отведенном поляризационном слое (Спс); Y2 - расход отводимого поляризационного слоя (Fпс); Y3 - расход фильтрата (Fф), Y4 - расход обедненного потока (Fоб.п) Подобная схема применима для мембранных аппаратов вне зависимости от метода отвода поля- ризационного слоя, используемого типа мембраны и перерабатываемого сырья, что позволяет приме- нять ее в различных областях промышленности и для различных конструктивных решений. Для простоты построения общего вида переда- точной функции приведенной информационной схемы необходимо разделить ее на более мелкие части, состоящие из возмущающего воздействия, входного и выходного параметров (пример на рис. 2). Для построения передаточной функции та- кого элемента необходимо произвести воздействие по входному параметру и возмущающему воз- действия. После обработки всех частей системы получен- ные передаточные функции должны быть последо- вательно собраны воедино, в соответствии с их взаимосвязями, отраженными на информационной схеме (рис. 1). В результате будет получена переда- точная функция всей исследуемой системы, отра- жающая влияние возмущающих воздействий и входных параметров системы на ее выходные па- раметры. На основе полученной модели для конкретного оборудования могут быть рассчитаны оптимальные параметры работы, позволяющие получить продукт с необходимыми характеристиками при минималь- ной себестоимости. Начнем построение передаточных функций с разделения схемы на основные части (мембранный модуль и отводящее устройство). В каждой части определим изучаемые возмущающие воздействия и выходные параметры. После чего для всех возмож- ных пар определенных воздействий и параметров составим передаточные функции. Например, для построения передаточной функции по мембранному модулю по каналам воз- действия технологических параметров и параметру Z1 необходимо нанести воздействие на систему по каналам X1 и α (рис. 2). Рис. 2. Схема нанесения двух воздействий на систему (технологический параметр и концентрация сухих веществ в исходном растворе) В результате получим передаточную функцию в общем виде (1): Wαi-Z1(S)=(Z1(S)-X1(S)*WX1-Z1(S))/αi(S). (1) Подобным образом строятся передаточные функции каждого исследуемого канала воздействия и каждого выходного параметра. Далее построен- ные функции объединяются для описания переда- точной функции всей системы в целом, что позво- ляет математически описать воздействие всех ана- лизируемых возмущающих воздействий и входных параметров на выходы системы. Например, построим передаточную функцию в общем виде через параметр Z1 для выходного па- раметра Y1 по каналу воздействия технологических параметров (рис. 3). Рис. 3. Схема нанесения последовательных воздействий на систему Для построения передаточной функции в общем виде по схеме (рис. 4) выразим Z1 через (1). В ре- зультате получим (2) WY1(S)=X1(S)*WX1-Z1(S)*WZ1-Y1(S)+αi(S)* *Wαi-Z1(S)*WZ1-Y1(S)+f(αi)(S)*Wf(αi)-Y1(S). (2) Аналогично получены передаточные функции всех выходных параметров по каналам воздействия всех учтенных параметров. Общий вид передаточной функции по каналам воздействия технологиче- ских параметров можно записать в следующем виде (3). WYi(S)= X1(S)*WX1-Z1(S)*WZ1-Yi(S)*WX1- -Z2(S)*WZ2-Yi(S)+Σni=1 αi(S)*Wαi-Z1(S)*WZ1- (3) -Yi(S)* Wαi-Z2(S)*WZ2-Yi(S)+Σni=1 f(αi)(S)* *Wf(αi)-Yi(S). Аналогично построим общие виды передаточ- ных функций по каналам воздействия конструктив- ных (4) и режимных (5) параметров, из формулы (3-5) может быть построена передаточная функция всей системы в общем виде (6) WYi(S)=X1(S)*WX1-Z1(S) WZ1-Yi(S)*WX1-Z2(S)* *WZ2-Yi(S)+ Σmi=1 β1i(S)*Wβ1i-Z1(S)* (4) *WZ1-Yi(S)*Wβ1i-Z2(S)*WZ2-Yi(S) + Σmi=1 β2i(S)*Wβ2i-Yi(S); WYi(S)=X1(S)*WX1-Z1(S)*WZ1-Yi(S)*WX1- -Z2(S)*WZ2-Yi(S) + Σli=1 γ1i(S)*Wγ1i-Z1(S)* (5) *WZ1-Yi(S)*Wγ1i-Z2(S)*WZ2-Yi(S)* + Σli=1 γ2i(S)*Wγ2i-Yi(S); WYi(S)= X1(S)*WX1-Z1(S)*WZ1-Yi(S)* *WX1-Z2(S)*WZ2-Yi(S)+Σni=1 αi(S)* *Wαi-Z1(S)*WZ1-Yi(S)* Wαi-Z2(S)*WZ2- -Yi(S)+Σni=1 f(αi)(S)*Wf(αi)-Yi(S)+Σmi=1 β1i(S)*Wβ1i-Z1(S)*WZ1-Yi(S)*Wβ1i-Z2(S)* (6) *WZ2-Yi(S)+Σmi=1 β2i(S)*Wβ2i-Yi(S)+Σli=1 γ1i(S)*Wγ1i-Z1(S)*WZ1-Yi(S)*Wγ1i-Z2(S)* *WZ2-Yi(S)+Σli=1 γ2i(S)*Wγ2i-Yi(S). Далее для получения частного вида передаточ- ной функции конкретной исследуемой системы необходимо на основе экспериментальных иссле- дований построить передаточные функции по всем этого же параметра в мембранном модуле. Напри- мер, давление среды в мембранном модуле и отво- дящем устройстве будет отличаться, однако воз- действовать на давление в отводящем устройстве без изменений давления в мембранном модуле не- возможно в связи с конструкцией аппаратов с отво- дом поляризационного слоя. В то же время давле- ние среды в отводящем устройстве неразрывно свя- зано с давлением в мембранном модуле. Однако конкретные закономерности изменения технологи- ческих параметров могут быть построены только для каждого конкретного исследуемого аппарата отдельно. При незначительном различии величины технологического параметра в мембранном модуле и отводящем устройстве закономерностями f(α) можно пренебречь и использовать для расчетов единые значения параметров α как для мембранно- го модуля, так и для отводящего устройства. Воз- действия, влияние которых на систему незначи- тельно либо не поддается экспериментальному ис- следованию, могут быть приравнены к нулю и, тем самым, удалены из расчета. Использование операционного исчисления Операционное исчисление широко применяется в различных отраслях науки и техники благодаря универсальности, простоте использования и сокра- щению затрат времени на математическую обра- ботку. С его помощью можно простые дифферен- циальные и интегральные уравнения свести к ал- гебраическим. После получения решения алгебраи- ческого уравнения его восстанавливают по изобра- жению. Установим связь между ПФ W(S) звена (систе- мы) и типовыми выходными характеристиками - переходной h(t) функциями. Операционный метод (метод операционного ис- числения) позволяет описывать и анализировать системы в форме передаточных функций. [2] В ос- нове метода лежит преобразование Лапласа (7) [9]. анализируемым каналам и найти закономерности изменения технологических параметров f(α), опи- сывающие каким образом изменяются технологи- W (S ) L{x(t)} S h(t) eSt dt 0 . (7) ческие параметры при протекании процесса в отво- дящем устройстве по сравнению с заданными в мембранном модуле параметрами. Предложенная математическая модель на осно- ве кибернетического моделирования может быть применена к любым конструкциям мембранных аппаратов, общая схема функционирования кото- Известно, что концентрация поляризационного слоя циклически изменяется от продолжитель- ности. В этом случае параметры определяются гра- фически по формулам (8-10) k h() , (8) рых соответствует приведенной информационной ln(a1 a2 ) схеме (рис. 1). Для получения частного случая предложенной модели для конкретного аппарата необходимо по- t2 t1 , (9) строить все учитываемые передаточные функции W, найти закономерности изменения технологи- 2 t t . (10) ческих параметров f(αi). Закономерности f(α) отражают изменение технологического параметра при протекании процесса в отводящем устройстве от 2 1 С учетом этого (11) W(S) S h(t) e S tdt S h(t) e S tdt S dt 0 0 n k S (1( cosωt msin ωt) e ) e dt = lim α t S t n 0 n α t S t lim k S (1( cosωt m sin ωt) e ) e dt n 0 n S t ( α S)t ( α S)t dt lim k S e cosω t e m sin ω t e n 0 n S t n ( α S) t = k S lim e dt k S lim cosωt e dt n 0 n n 0 - lim ( α S)t 1 lim S t k m S sin ωt e n 0 dt k S e n S α S α S)t ω α S)t - k S lim 2 2 e cos(ωt) 2 2 e sin(ωt) n ( α S) ω ( α S) ω k m S ω e α S) t cos (ω t) α S e α S) t sin (ω t) lim ( α S)2 ω2 ( α S)2 ω2 n k S 1 k S S α S ( α S)2 ω2 k m S ω ( α S)2 ω2 k ( α S)2 ω2 k S S = k m S ω (11) ( α S)2 ω2 ( α S)2 ω2 k ( α S)2 ω2 k S S k m S ω 2 2 S S 2 ω2 k 2 2 S S 2 ω2 k S S k m S ω = 2 2 S S 2 ω2 k S 2 2 S k k 2 ω2 k S 2 k S k m S ω 2 2 S S 2 ω2 2 S k k 2 ω2 k S k m S ω S k k 2 ω2 k m S ω = 2 2 S S 2 ω2 k k m ω S k 2 ω2 2 2 S S 2 ω2 k 2 ω2 . 2 2 S S 2 ω2 Параметры переходной функции определяются S 2 2 S 2 ω2 k 2 ω2 графически. Передаточная функция данного звена имеет вид (12). W (S) , (12) S 2 2 S 2 ω2 где α - параметр затухания; k - коэффициент уси- ления объекта; ω - частота собственных колебаний с учетом демпфирования. Также могут быть рассчитаны экспоненциаль- ные воздействия на систему. Убывающее единичное экспоненциальное воздействие (13). x(t) = e-t/T ∞ 1+s)t ной математической модели. Использование избы- точного количества исследуемых факторов систе- мы позволяет при необходимости быстро адапти- ровать ее к более широкому кругу лабораторных установок и аппаратов. В качестве исходной среды было использовано обезжиренное молоко с концентрацией сухих ве- ществ 5,15 % масс. Для определения численных значений выход- ных параметров мембранного модуля были исполь- F(s)= e-t/T ∙e-stdt= lim e-(T β→∞ dt= зованы аналитические методы по причине слож- ности их инструментального измерения. Аналити- 0 1 1-s)t ческие зависимости представлены ниже (15, 16). = lim e(-T = T β→∞ (- 1 -s) T Ts+1 Z1=(Y1*Y2+Cоб.р.*Y4)/Z2 , (15) где Соб.р - концентрация обедненного раствора W(s) = s ∙ F(s) = s ∙ T = Ts . (13) (С =3,87). Ts+1 Ts+1 об.р Возрастающее единичное экспоненциальное воздействие (14). x(t) = 1 - e-t/T ∞ β 1-s)t Z2=Y2+Y4. (16) Для используемых входных параметров и воз- мущающих воздействий были определены следу- ющие допустимые диапазоны изменений: - температура исходного сырья 20-60 °С, (20 °С F(s)= (1-e-t/T) ∙e-stdt= lim [e-st-e(-T n→∞ ] dt= - средняя температура производственных помеще- 0 1 Ts = s Ts+1 0 Ts+1-T = Ts2+s ний, 60 °С - температура денатурации белков коровьего молока); - концентрация сухих веществ в сырье 5,15 % W(s) = s ∙ F(s) = s ∙ Ts+1-T = Ts-T+1. (14) (используется обезжиренное молоко с такой кон- Tsz+s Ts+1 центрацией сухих веществ); - критерий Рейнольдса для потока внутри Применение операционного исчисления в кибернетическом моделировании позволяет сократить время, необходимое для расчета, и повысить его точность. Результаты и их обсуждение Экспериментальные исследования осуществля- лись на опытно-промышленной конструкции мем- бранного аппарата, аналогом которой служил па- тент [11]. Экспериментальные исследования прово- дились с использованием полного факторного экс- перимента. На исследуемой лабораторной установке не проводился анализ конструктивных параметров, однако в информационной схема (рис. 1) они при- сутствуют, т.к. схема является универсальной для широкого круга аппаратов, в то время как приве- денное экспериментальное исследование является лишь частным случаем использования предложенмембраны - до 2300 (при таких значениях обеспечивается ламинарный режим течения среды, что благоприятно для сохранения концентрации поля- ризационного слоя). В результате исследования и обработки резуль- татов были получены передаточные функции, опи- сывающие взаимосвязи системы. После подстановки полученных значений в об- щий вид математической модели с помощью мате- матического программного обеспечения получена частная математическая модель, описывающая ра- боту опытно-промышленного аппарата. Обработка экспериментальных данных позво- лила получить уравнение регрессии, описывающее зависимость содержания сухих веществ от техно- логических параметров. Выборочное уравнение регрессии в безразмер- ном масштабе имеет вид (17). y b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b23 x2 x3 b123 x1 x2 x3 , (17) где x1 - давление среды; х2 - режим течения среды; х3 - время обработки. Исключаем из уравнения путем приравнивания ле этого уравнение регрессии в безразмерном мас- штабе имеет вид (18). Уравнение регрессии в натуральном масштак нулю незначимые коэффициенты b13 и b123 . Посбе (19). y 6,41 0.035 x1 0183. x2 0.042 x3 0.058 x1 x2 0.039 x2 x3 . (18) y 6.3273 0.0091 P 5.63 10 5 Re 9.110 4 t 4 10 4 P Re 3 10 6 Re t . (19) После анализа и обработки полученных экспе- риментальных данных были получены следующие рациональные значения параметров переработки: t = 20 мин , P = 3 МПа, Re = 1500, С(3; 1500; 40) = = 6,4 % масс. Увеличение концентрации сухих веществ в от- водимом слое по сравнению с концентрацией в ис- ходном растворе составляет от 8,5 до 17 % для обезжиренного молока. Данная конструкция позволяет повысить кон- центрацию поляризационного слоя в среднем на 17-20 % по сравнению с концентрацией раствора в канале аппарата. Полученные данные говорят о перспективности предложенной конструкции для промышленного применения. Оценка прогностической способности Оценка прогностической способности модели была проведена по полученным эксперименталь- ным данным путем подстановки исходных пара- метров экспериментов в модель. Расхождение по- казателей концентрации сухих веществ в отводи- мом слое, полученных теоретически, путем расчета по предложенной математической модели и полученных экспериментально во всем диапазоне изме- нения технологических параметров процесса не превышает 10 %, что свидетельствует о достаточ- ной адекватности модели и делает ее применимой для расчета и проектирования промышленного оборудования. Выводы Предложена математическая модель, которая может быть использована для различных конструк- ций мембранных аппаратов. Ее сравнительная оценка с данными, полученными эксперименталь- ным путем, проведенная на опытно-промышленной конструкции, показала ее адекватность и достаточ- ную прогностическую способность для ее приме- нения в проектировании промышленного оборудо- вания. Предложенная модель может быть использована для широкого круга мембранных аппаратов. Ее применение сократит продолжительность матема- тического моделирования и позволит уменьшить время, необходимое от разработки новой модели, до внедрения ее в производство.
1. Svitcov, A.A. Vvedenie v membrannuyu tehnologiyu / A.A. Svitcov. - M.: DeLi Print, 2007. - 208 s.
2. Mulder, M. Vvedenie v membrannuyu tehnologiyu: per. s angl. / M. Mulder. - M.: Mir, 1999. - 513 s.
3. Dytnerskiy, Yu.I. Baromembrannye processy. Teoriya i raschet / Yu.I. Dytnerskiy. - M.: Himiya, 1986. - 272 s.
4. Fetisov, E.A. Membrannye i molekulyarno-sitovye metody pererabotki moloka / E.A. Fetisov, A.P. Chagarovskiy. - M., Agropromizdat, 1991. - 272 s.
5. Brok, T.D. Membrannaya fil'traciya: per.s angl. / T.D. Brok. - M.: Mir, 1987. - 464 s.
6. Gavrilov, G.G. Tehnologiya membrannyh processov pererabotki molochnoy syvorotki i sozdanie produktov s funkcional'nymi svoystvami: monografiya / G.B. Gavrilov. - M.: Rossel'hozakademiya, 2006. - 134 s.
7. Drioli, Enrico. Membrane Contactors: Fundamentals, Applications and Potentialities / Enrico Drioli, A. Criscuoli, E. Curcio// Membrane Science and Technology. - 2005. - Vol. 11. - 516 r.
8. Lobasenko, B.A. Matematicheskoe modelirovanie processa membrannogo koncentrirovaniya na osnove kiberneticheskogo podhoda / B.A. Lobasenko, R.V. Kotlyarov, E.K. Sazonova // Fundamental'nye issledovaniya. - 2016. - № 2-1. - S. 70-75.
9. Kotlyarov, R.V. Modelirovanie processa membrannogo koncentrirovaniya molochnyh sred i razrabotka apparaturnyh shem ustanovok: avtoreferat diss. … kand. tehn. nauk: 05.18.12. - Kemerovo, 2009. - 17 s.
10. Baeumer, B. Unbounded functional calculus for bounded groups with applications / B. Baeumer, M. Kovács, M. Haase // Journal of Evolution Equations. - 2009. - Vol. 9. - № 1. - P. 171-195.
11. Patent № 2181619 Rossiyskaya Federaciya. Apparat dlya membrannogo koncentrirovaniya / Lobasenko B.A., Safonov A.A., Lobasenko R.B., Cherdanceva A.A.; zayavitel' i patentoobladatel' Lobasenko B.A. - Opubl. 27.04.2002 v B.I. № 12.
